TEOREMAS DE DERIVADAS, TEORÍA, EJEMPLOS Y EJERCICIOS

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TEOREMAS DE LA DIFERENCIACIÓN DE FUNCIONES ALGEBRAICAS

Vídeo de teoremas de derivadas 1 al 5: https://youtu.be/SlXpMAa7bTc

(Derivada de una constante, derivada de exponente positivo, derivada de suma y resta de funciones, derivada de la suma de número finito de funciones). 

Vídeo de teoremas de derivadas 6 al 10: https://youtu.be/9Wj6xiYzkts

(Derivada de producto de funciones, derivada de cociente de funciones, derivada de exponente negativo, derivada por regla de la cadena, derivada de exponente racional).

1) TEOREMA

     Si “c” constante, para toda “x”, entonces:

f(x) = c ® f¢(x) = 0

            Ejemplos:

            1) f(x) = 9

f¢(x) = 0

            2) f(x) = - 5

f¢(x) = 0

            3) f(x) = 3/4

f¢(x) = 0

2) TEOREMA

     Si “n” es un entero positivo, entonces:

f(x) = xⁿ ® f¢(x) = nx^n-1

Ejemplos:

1) f(x) = x³

f¢(x) = 3x²

            2) f(x) = x⁴

f¢(x) = 4x³

            3) f(x) = 5x

f¢(x) = 5

3) TEOREMA

     Si f es una función, c es una constante y g es una función, entonces:

g(x) = c f(x) ® g¢(x) = cf¢(x)

Ejemplos:

1) f(x) = 7x³

f¢(x) = 21x²

2) f(x) = 3/5x⁴

f¢(x) = 12/5x³

4) TEOREMA

     Si f y g son funciones y h es otra función, entonces:

h(x) = f(x) + g(x) ® h¢(x) = f¢(x) + g¢(x)

Ejemplos:

1) f(x) = 4x³ – 5x²

f¢(x) = 12x² – 10x

5) TEOREMA

    La derivada de la suma de un número finito de funciones es igual a la suma de sus derivadas, 

    si  es que estas existen.

Ejemplo:

1) f(x) = x³ – 3x² +2x

f¢(x) = 3x² – 6x + 2

6) TEOREMA

     Si f, g y h son funciones, entonces:

h(x) = f(x) × g(x) ® h¢(x) = f(x) . g¢(x) + g(x) . f¢(x)

Ejemplo:

1) f(x) = (x³ – 3)(x² – x)

f¢(x) = (x³ – 3)(2x – 1) + (x² – x)(3x²)

f¢(x) = 2x⁴ – x³ – 6x + 3 + 3x⁴ – 3x³

f¢(x) = 5x⁴ – 4x³ – 6x + 3

7) TEOREMA

    Si f, g y h son funciones, entonces:

8) TEOREMA

     Si n es un número entero negativo, entonces:

f(x) = x^-n ® f¢ (x) = -nx^-n-1

     Ejemplos:

1) f(x) = x^-3

f¢(x) = - 3x^-3-1

f¢(x) = - 3x^-4

2) f(x) = - 5x^-2

f¢(x) = - 2 × - 5x^-2-1

f¢(x) = 10x^-3

9) TEOREMA

    Si f y g son funciones, entonces:

f(x) = [g(x)]ⁿ ® f¢(x) = n[g(x)]^n-1 × g¢(x)

     Ejemplo:

1) f(x) = (2x – 1)³

f¢(x) = 3(2x – 1)² × 2

f¢(x) = 6(2x – 1)²

f¢(x) = 6(4x² – 4x + 1)

f¢(x) = 24x² – 24x + 6

10) TEOREMA

Para r, cualquier número racional

f(x) = x^r ® f¢ (x) = rx^r-1

     Ejemplo:

1) f(x) = 2x^2/3

f¢(x) = 2/3x^2/3-1

f¢(x) = 2/3x^-1/3

2) f(x) = 5/7x^-3/4

f¢(x) = 5/7 × -3/4x^-3/4-1

f¢(x) = - 15/28x^-7/4